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1. Características técnicas

1.1 Equipamento necessário

Computador pessoal compatível IBM, com disco duro, placa gráfica VGA e ambiente "Windows 3.1".

O programa foi escrito na linguagem "Visual Basic" da Microsoft (para "Windows").

1.2 Ficheiros principais

GRAPH.VB_

GSW.EX_

GSWDLL.DL_

INSTALAR.EXE

JUPITER.BM_

LANCA.EX_

MOON.BM_

SPACE.BM_

STADIUM.BM_

THREED.VB_

VBRUN300.DL_

LANÇA.TXT (Texto do manual em ASCII)

DARDO.BAS

DARDO.EXE

PISA.BAS

PISA.EXE

Recomenda-se que o utente efectue uma cópia de salvaguarda da disquete com o programa.

O programa deverá ser instalado no disco duro. Para tal, selecionar a opção "Run" (no menú "File") no utilitário "File Manager" do "Windows". Correr o programa a:\INSTALAR.EXE. O programa será instalado na directoria C:\LANCA criada automaticamente para o efeito ou noutra directoria, se assim for desejado. Do programa de instalação consta a criação de um ícon. Clicando duas vezes nesse ícon, a partir do ambiente Windows, dá-se início ao programa "Lança!", cujo primeiro écran apresentamos seguidamente.



Fig.1 Écran de apresentação do programa "LANÇA!".



2. COMO FUNCIONA O PROGRAMA

2.1 Introdução

O programa "Lança!" é uma simulação do movimento a duas dimensões de um dardo sujeito tanto à força da gravidade como à força de resistência da atmosfera. "Lança!" é uma versão melhorada duma simulação simples de projécteis feita em linguagem "Basic", a que chamámos precisamente "Dardo". Este programa "Dardo", cujo código fonte e ficheiro executável está também incluída na disquete, acompanhando fichas de trabalho para os alunos (ver "Tópicos para os alunos"). Também consta dos ficheiros apresentados o programa "Pisa", também em "Basic", que simula a queda de graves do cimo da Torre de Pisa.

Em qualquer dos casos, as simulações pretendem dar a oportunidade aos alunos de realizarem experiências pedagogicamente interessantes mas impossíveis de fazer no mundo real.

Os algoritmos do programa "Lança" não são muito diferentes dos utilizados no programa "Dardo". Os aspectos gráficos estão melhorados assim como as possibilidades de manipulação pelo utilizador.

2.2 Procedimentos

Depois do programa "Lança!" estar devidamente instalado no disco duro (ver "Características técnicas"), pode-se dar início à simulação. Para tal, clicar duas vezes no ícon do programa.

O écran de apresentação aparece então no monitor bastando um simples clique no botão "O.K." para começar o programa propriamente dito.

Para realizar um lançamento deve-se activar o botão "Movimento", simulando-se então um lançamento do dardo com as condições seleccionadas pelo utilizador.

A Fig. 2 apresenta uma imagem do programa, correspondente a um lançamento realizado na Terra nas condições de lançamento indicadas.

Fig. 2- Lançamento do dardo na Terra, tal como aparece no programa "Lança!".

Para obter a Fig. 2 foi activada a opção "Gráficos" e escolhida a representação de x(t) e y(t). Também é possível observar os gráficos vx(t) e vy(t) durante o movimento. Para activar esta e qualquer outra opção, usam-se os procedimentos habituais no ambiente "Windows"; clica-se o racto na posição desejada ou carregar em simultâneo nas teclas "Alt" e na letra sublinhada de cada opção.

Na parte superior do écran aparecem quatro parâmetros alteráveis a qualquer momento pelo utilizador. Estas variáveis são: y0 (altura inicial), v0 (valor da velocidade inicial), (ângulo de lançamento), e coeficiente da força de resistência (que é proporcional ao quadrado da velocidade). A introdução de novos valores pode ser feita de duas formas: ou deslocando o quadrado da barra de valores, com o rato, para um ou para o outro lado, ou introduzindo números escrevendo directamente com o teclado. Alguns valores, por serem completamente irrealistas ou conduzirem a problemas matemáticos, não são aceites pelo computador.

É possível mostrar quatro lançamentos sobrepostos e comparar os resultados e as condições iniciais de cada um. Um clique na seta situada na parte inferior do écran activa uma pequena janela com toda a informação relativa a cada lançamento, conforme se observa na Fig. 3. Para desactivar o quadro de informação basta fazer um clique em qualquer ponto do écran. A Fig 3 mostra três lançamentos, o último dos quais na Lua. Se efectuarmos lançamentos em diferentes planetas a escala é ajustada de modo que o lançamento de maior alcance fique no canto inferior direito. No quadro do lado esquerdo podem-se observar as coordenadas do projéctil, que vão sendo actualizadas à medida que o dardo descreve o seu movimento.

Fig. 3- Vários lançamentos com as mesmas condições iniciais efectuadas em diferentes locais, o último dos quais na Lua.

Para apagar um determinado lançamento do dardo, deve selecciona-se a opção "Apagar", no rectângulo imediatamente abaixo do botão "Movimento", no écran principal.

É possível lançar o dardo não só na Terra como na Lua, no planeta Júpiter ou numa situação de imponderabilidade. O cenário do lançamento pode ser seleccionado na opção "Gravidade", dentro do menú de opções. Das opções consta ainda a possibilidade de visualizar os vectores velocidade e aceleração ou de activar uma "câmara lenta" para cada lançamento.

A Fig. 4 mostra um lançamento efectuado em Júpiter. Júpiter é, de facto, um planeta gasoso mas a simulação permite o lançamento num planeta sólido com a mesma gravidade à superfície que a de Júpiter. Agora está activada a opção "Dardo" no menú "Lançamento" (as outras duas opções são "Trajectória" e "Estroboscopia"). No canto inferior esquerdo aparecem os gráficos vx(t) e vy(t).

Fig. 4- Lançamento do dardo no planeta Júpiter.

No menú "Opções" é possível seleccionar a visualização dos vectores aceleração e velocidade bem como activar uma "câmara lenta", que permitirá uma observação mais pormenorizada do movimento.

No canto superior direito está a "Ajuda" do programa. Esta opção permite a consulta de um glossário explicativo do modo de funcionamento do programa (alternativa "conteúdo"). Um clique em qualquer uma das palavras verdes permite uma explicação de determinada operação.

Como é habitual nas "ajudas" em Windows, existem opções de procura ("search") e de conteúdo ("contents"). Outras ferramentas da "Ajuda" permitem, inclusivé, a alteração e melhoramento desta ajuda (basta conhecer e manipular os utilitários do ambiente Windows).

Como caso particular desta "Ajuda", está o conteúdo deste manual, incluindo os roteiros de exploração do programa.

Não há comandos particulares para fazer qualquer impressão. É possível, porém, e certamente útil, imprimir parcial ou totalmente o conteúdo de qualquer écran. Para tal, carregar na tecla "print screen - ptrSc" quando o écran contiver as figuras pretendidas. Seguidamente, usar o comando "colar" ("past") em qualquer outro programa do ambiente Windows (paint brush, word, paint shop, etc) e trabalhar a figura.

Apresentamos seguidamente um quadro síntese de todas as opções do programa:

OPÇÃO Alternativas Função
Ficheiro sair Terminar o programa e regressar ao ambiente Windows.
Opções gravidade Possibilidade de seleccionar lançamentos na Terra, na Lua, em Júpiter ou em circunstâncias de gravidade nula.
velocidade Activa a visualização do vector velocidade durante o lançamento.
aceleração Activa a visualização do vector aceleração durante o lançamento.
câmara lenta Observação dos lançamentos em "câmara lenta".
Lançamento dardo Observação exclusiva do dardo durante os lançamentos.
trajectória Para além do dardo, pode observar-se a trajectória do projéctil, que fica registada no écran.
estroboscopia Possibilidade de observar estroboscopicamente o lançamento ("fotografias" sucessivas do dardo em intervalos de tempo iguais).
Gráficos x(t) e y(t) Observação dos gráficos x(t) e y(t) no final de cada lançamento.
vx(t) e vy(t) Observação dos gráficos vx(t) e vy(t) no final de cada lançamento.
Ajuda Ajuda sobre os comandos do programa.



3. CONTEÚDOS QUE ABRANGE E RELAÇÕES COM OS CURRICULOS ESCOLARES


Os novos currículos para o ensino secundário remetem o lançamento de projécteis para o 11º ano de escolaridade. É também neste nível de escolaridade que são introduzidos os primeiros estudos cinemáticos a uma dimensão. Nos antigos programas escolares, a cinemática era introduzida a uma dimensão no 10º ano, fazendo-se a abordagem a duas dimensões no 12º ano.

Os roteiros de exploração que apresentamos no Cap. 4 dirigem-se pois, preferencialmente, aos alunos do 11º ano.

Os roteiros 3 e 4 podem porém ser úteis para alunos de outro níveis de escolaridade, nomeadamente alunos dos 10º e 12º anos, que estejam interessados em técnicas simples de programação.




4. NOTAS PARA O PROFESSOR


As simulações computacionais que estamos a considerar permitem abordar situações de grande interesse pedagógico, cujo estudo seria mais difícil ou mesmo impossível sem o uso do computador.

Com este programa tratamos problemas do lançamento de projécteis com um certo grau de realismo, considerando por exemplo a resistência do ar.

O programa "Lança!" considera o problema do movimento de projécteis, já que o dardo é visto como um projéctil simples que se lança duma altura inicial qualquer enfrentando a resistência do ar. Concentramos a atenção nesses dois aspectos essenciais para o alcance de um projéctil, frequentemente ignorados nos manuais escolares de Física.

O estudo do lançamento do dardo na perspectiva computacional pode revelar-se de grande interesse para o ensino da Física. Por exemplo, os alunos de desporto das nossas escolas secundárias têm mostrado uma enorme taxa de insucesso na disciplina de Física. Talvez fosse motivador para esses alunos introduzir o lançamento de projécteis a propósito da problemática dos lançamentos no atletismo, mostrando assim a ligação da Física com o desporto. Os novos currículos para o ensino secundário e os trabalhos de projecto a desenvolver no âmbito da Área-Escola priveligiam de certo modo este tipo de abordagem.

A queda unidireccional de um grave que sofre resistência do ar pode ser tratada analiticamente por meio de uma equação não linear (ver ponto A.1.3 no Apêndice A). No entanto, o problema do projéctil a duas dimensões (descrito por duas equações diferenciais não lineares acopladas) não tem solução analítica. É recorrer a uma solução numérica, usando algoritmos relativamente simples, como o algorítmo de Euler ou o algorítmo de Euler modificado para resolver as equações do movimento. Procede-se a uma actualização em cada instante t da velocidade e posição do projéctil a partir dos valores iniciais (ver, por exemplo Stanley 1984 ou Fiolhais 1992). A simulação computacional permite, portanto, um tratamento realista de certos fenómenos físicos, sem uma grande sobrecarga de formalismo matemático.

Note-se que esta simulação no computador não é experimental nem puramente teórica; trata-se de uma "terceira via", que não se sobrepõe às duas primeiras e antes as complementa e cujo impacto pedagógico parece ser evidente.

Para além do programa "Lança!", apresentamos os programas "Dardo" e "Pisa", escritos em linguagem "Basic". Este último aborda mais especificamente a queda de graves sujeita à resistência do ar e a influência da massa e do volume na velocidade terminal (ver "Tópicos para os alunos" e "Textos de apoio").

Um programa de computador, com meia dúzia de linhas em linguagem "Basic" (ver "Tópicos para os alunos"), pode produzir um écran semelhante ao da Fig. 5. Ligar e desligar a resistência do ar ou fazer lançamentos num planeta qualquer, por exemplo, constituem manipulações que são úteis pedagogicamente apesar de inexequíveis no mundo real. O programa em "Basic" na sua versão não compilada, permite ao aluno verificar os algoritmos utilizados para resolver as equações de Newton e mudar os parâmetros relevantes. Edward Redish, no seu artigo "Using Computers in Teaching Physics" (Redish, 1989), põe em relevo a excelente qualidade pedagógica deste tipo de computação, graças ao elevado nível interactivo que se estabelece entre o aluno e o programa (ver "Tópicos para os alunos").

Fig.  5 O programa "Dardo", em "Basic", mostra que o ângulo óptimo de lançamento para obter o melhor alcance de um projéctil lançado a 2m de altura é 44,5° e não 45° como acontece quando a altura do lançamento é zero.

Vejamos em mais pormenor o modo como é modelizada a força de resistência do ar. A força de resistência sofrida por um objecto esférico tem sentido oposto ao da velocidade e uma grandeza proporcional ao quadrado da velocidade

(4.1)

com a velocidade do dardo e B uma constante tal que , sendo r a densidade do meio envolvente e r o raio do objecto. Embora não seja correcto tratar o dardo como uma esfera (tal seria adequado para o lançamento do peso) a fórmula (4.1) permite uma primeira aproximação ao problema da influência da resistência do ar. Devemos ter em mente que o dardo é um objecto aerodinâmico complicado.

Para além dos Textos de Apoio no final deste manual apresentamos alguns roteiros de exploração para os alunos. Conceitos-chave dos novos programas como velocidade, aceleração, vector aceleração, vector velocidade e velocidade terminal são abordados nos seguintes roteiros:

1 - Programa "Lança!", para o 11º ano (com instruções pormenorizadas de comandos)

2 - Programa "Lança!", para o 11º ano (texto sintético, isto é, com maior grau de dificuldade que o anterior e sem instruções pormenorizadas de comandos; dirige-se essencialmente a alunos com mais conhecimentos e/ou prática de trabalho no computador).

3- Programa "Dardo" (Exploração). Questões das provas nacionais das Olimpíadas da Física'94.

4- Programa "Dardo" ("Mexendo no programa de computador").

5- Programa "Pisa" (exploração).

6- Programa "Pisa" ("Mexendo no programa de computador").

Pretendemos, desenvolver uma segunda versão que compreenderá um "modo jogo". Serão colocados desafios ao utilizador, que implicarão um desenvolvimento conceptual e de cálculo em ambiente de jogo. O "modo jogo" pode envolver desafios como "Jogos Olímpicos Lunares", etc

Os autores agradecem todas as sugestões e críticas que possam melhorar o programa.




A. Algumas expressões matemáticas


NOTA: Algumas fórmulas não se encontram nas melhores condições no formato html. Para as obter contactar o Projecto Softciências a fim de consultar a versão em papel deste manual.

Vamos analisar em primeiro lugar a força de resistência do ar para o movimento unidireccional e depois o movimento de um projéctil a duas dimensões, sem força de resistência.

A.1 A queda dos graves com resistência do ar


Vamos considerar dois modelos matemáticos que descrevem de maneira diferente a força de resistência do ar sofrida por uma esfera que cai num certo meio.

Modelo A: Considera-se o fluxo laminar: As moléculas do ar afastam-se lentamente, dando lugar ao corpo: as camadas de ar deslizam umas sobre as outras.

Modelo B: Considera-se o fluxo turbulento: As moléculas afastam-se violentamente, deixando um remoinho atrás do corpo.

O modelo B foi adoptado nos programas "Lança", "Dardo" e "Pisa".

A.1.1 MODELO A

Força de resistência linear na velocidade

. (A.1.1.1)

A equação do movimento é:

m dv/dt = P - A v, (A.1.1.2)

com P = mg e A = 6p h r = a r, (A.1.1.3)

para uma esfera de raio r, sendo h a viscosidade do meio (por exemplo ar).

Esta é a fórmula de Stokes: a dedução faz-se a partir das equações para o movimento laminar num fluido viscoso.

As constantes são

h (ar) = 18,325 kg m-1 s-1, (A.1.1.4)

a = 6p h =3,1 . 10 -4 kg m-1 s-1 . (A.1.1.5)

A velocidade terminal da esfera é:

, (A.1.1.6)

com a densidade do corpo.

Exemplo: A gota de óleo na experiência de Millikan, para determinar a carga do electrão.

A.1.2 MODELO B

Força de resistência quadrática na velocidade

(A.1.2.1)

A equação do movimento é:

m dv/dt = P - B v2 , (A.1.2.2)

com

B = (CD/2)rpr2 = b r2 , (A.1.2.3)

para uma esfera de raio r, sendo r a densidade do meio (ar).

A justificação desta expressão pode fazer-se de forma qualitativa. A figura mostra a secção de ar atravessado por uma esfera durante o intervalo de tempo Dt.

A quantidade de movimento transferida para o ar por unidade de tempo é:

Mar v /Dt = r v2 p r2 (A.1.2.4)

O factor CD / 2 significa que algumas moléculas não atingem a velocidade v. Normalmente, toma-se CD = 1 / 2.

Fazendo

r(ar) = 1,15 kg m-3, (A.1.2.5)

virá:

b = 1/4 r p = 0,9 kg m-3. (A.1.2.6)

A velocidade terminal da esfera é

(A.1.2.7)

Exemplo: Uma pequena pedra que cai no ar.

A.1.3. Tratamento analítico do modelo A a uma dimensão:

Considere-se o modelo A (fluxo laminar) para descrever o movimento unidimensional de queda de uma esfera. A esfera parte com velocidade nula. A equação do movimento é:

m dv/dt = mg -Av (A.1.3.1)

ou

dv/dt = g - (A/m)v. (A.1.3.2)

Seja A/m = c = constante:

dv / (g - cv) = dt (A.1.3.3)

Integrando ambos os membros:

- 1/c ln (g - cv) = t + D, (A.1.3.4)

com D = constante. Então:

ln (g - cv) = - c (t + D) (A.1.3.5)

g - cv = e -c(t + D) = e -cD e -ct. (A.1.3.6)

Para t=0, vem g = e -cD . Logo:

g - cv = g e -ct. (A.1.3.7)

Resolvendo em ordem a v:

v = (g - g e -ct) / c (A.1.3.8)

Integrando ambos os membros de ds/dt = (g - g e -ct) / c, obtém­se:

s(t) = (g/c) t + (g/c2) e -ct + E , (A.1.3.9)

com E = constante. Podemos determinar E considerando t =0

0 = 0 + g/c2 + E, (A.1.3.10)

E = - g/c2

Então, a expressão do espaço percorrido em função do tempo, para um objecto esférico que cai em fluxo laminar é:

s(t) = (g/c) t + (g/c2) e -ct - g/c2. (A.1.3.11)

A expressão equivalente para o modelo B (fluxo turbulento) é (Coulter 1979):

s(t) = vt2/g ln (cosh (t/t) ), (A.1.3.13)

com vt = (mg/B)1/2 e t = vt/g.

Usámos a expressão analítica A.1.3.13 para controlar os erros na simulação computacional da queda de um grave no programa "Pisa". Não registámos discrepâncias significativas entre os resultados da simulação e os cálculos analíticos.

A.2 Lançamento de projécteis

Consideremos o lançamento de um projéctil, no espaço a duas dimensões num campo gravítico uniforme e sem resistência do ar.

As equações do movimento são segundo o eixo Ox:

ax = 0 (A.2.1)

vx = v0x (A.2.2)

vx = v0 cos q (A.2.3)

x = x0 + v0x t (A.2.4)

Alcance = x max (x para y = 0)

0 = v0y - 1/2 gt2

t = (2v0 sen q) / g. (A.2.9)

xmax = (v0 cos q . 2 v0 sen q) /g = 2 v2 sen q cos q / g.

Então:

xmax = sen (2 q ) v2 / g. (A.2.10)

Por outro lado, segundo o eixo Oy, tem-se:

ay = g (A.2.5)

vy = v0y - g t (A.2.6)

vy = v0 sen q - g t (A.2.7)

y = y0 + v0y t- 1/2 g t 2. (A.2.8)

Altura máxima = y max (y para vy=0)

0 = v0 sen q - gt

t = v0 sen q / g. (A.2.11)

ymax = v0 sen q (v0 sen q / g) - 1/2g (sen2 q v02) / g2 ,

ou seja

ymax = (sen2 q v02) / g - 1/2 (sen2 q v02) / g .

Então:

ymax = (sen2 q v02) / 2g (A.2.12)

A.2.1 Relação entre xmax e h

Consideremos o lançamento de um projéctil sem resistência do ar (Brown 1992). Tem-se:

x = v0 cos q t (A.2.1.1)

y = h + v0 sen q t- 1/2 gt2 (A.2.1.2)

Resolvendo a eq. (A.2.1.1) em ordem a t e substituindo o valor de t na eq. (A.2.1.2), com y = 0 vem:

x = (v02 / 2g) {sen 2q + [sen2 2q + (8gh / v02) cos2 q]1/2 } (A.2.1.3)

Fazendo dx/dq = 0 na eq. (A.2.1.3), obtém-se o valor qmax, que é o valor de q para o qual o alcance assume o valor máximo, xmax.

Resulta:

cos 2qmax = (gh / v02) / [1 +(gh / v02)] (A.2.1.4)

Portanto:

xmax = v02 ( 1 + 2gh / v02)1/2 /g. (A.2.1.5)

Para h = 0, xmax = v02 /g.

A.2.2 Relação entre xmax e qmax.

Resolvendo a eq. (A.2.1.5) em ordem a v0 e substituindo o resultado na eq. (A.2.1.3) com x = xmax e q = qmax, chegamos a:

xmax = h tg 2qmax. (A.2.2.1)




5. TÓPICOS PARA O ALUNO / FICHAS DE TRABALHO

5.1 Programa "Lança!", para o 11º ano (com instruções pormenorizadas dos comandos)

Benvindo ao programa "Lança!".

Por momentos, vais transformar-te num hábil lançador do dardo, capaz de inúmeras habilidades, não só na Terra como noutros planetas. Vais aproveitar para aprofundar alguns conhecimentos de Física.

Se tiveres dúvidas para iniciar o programa consulta o Cap. 1 deste manual.

Para fazer alguns registos, deves ter uma caneta e uma folha de papel à mão.

A qualquer momento poderás usar a "Ajuda" do programa, fazendo um simples clique na palavra ajuda no canto superior direito.

1- Entra no écran principal do programa (clica em O. K. no écran de apresentação).

Estás num estádio olímpico e vais lançar o dardo.

Coloca o rato no rectângulo no canto superior esquerdo do écran onde se introduz o valor de y0 (altura inicial do lançamento). Deslocando o quadrado num e noutro sentido podes alterar o valor de y0. O procedimento é o mesmo para v0 (velocidade inicial), q (ângulo de lançamento) e para o coeficiente da força de resistência, h.

Introduz o valor de 4 m para a altura inicial do lançamento, 50 m/s para a velocidade inicial, 40° para o ângulo de lançamento e 0 para o coeficiente da força de resistência.

Activa o botão "Movimento" (clica com o rato no respectivo rectângulo) e observa o movimento.

Atenta no alcance do dardo. Serão realistas as condições iniciais introduzidas? Porquê?

2- Sabendo que um lançamento de um atleta conceituado tem um alcance aproximado de 90 m, quando laçado de um ângulo de 45º e com velocidade inicial de cerca de 30 m/s, tenta encontrar um valor realista para o coeficiente da força de resistência. Terás que fazer alguns ensaios ajustando por tentativa e erro o valor do coeficiente em causa.

3- Trabalha agora com o coeficiente que encontraste em 2. Faz quatro lançamentos a partir da altura inicial de 2 m (altura média de um atleta), 30 m/s para a velocidade inicial e com os ângulos de lançamento de 20º, 43º, 45º e 75º. Compara os alcances dos quatro lançamentos (deverás clicar na seta de cada lançamento, colocada na linha horizontal inferior do écran).

4- Em face dos resultados obtidos comenta a frase seguinte: "O ângulo óptimo de lançamento do dardo (ângulo que corresponde ao maior alcance) é 45º."

5- Experimenta um lançamento nas mesmas circunstâncias do ponto 3 mas agora para um ângulo de 44.5º e reaprecia o teu comentário feito em 4.

6- Selecciona a opção "Apagar" (clica no botão "Apagar" por baixo de "Movimento").

Executa um primeiro lançamento com um ângulo de tiro de 45º e as restantes condições indicadas em 3.

Sobrepõe a esse lançamento a outros três, feitos com as mesmas condições iniciais, na Lua, em Júpiter e numa situação de imponderabilidade (isto é , sem gravidade). Para selecionares estes cenários clica no menú "Opções" e depois selecciona "Gravidade", escolhendo a opção respectiva.

Compara os resultados obtidos. Pra consultares as condições iniciais de cada lançamento e o alcance obtido, faz um clique na seta correspondente; aparece então um quadrado com um conjunto de valores que desaparece se fizeres um clique em qualquer ponto do écran.

7- Realiza um lançamento com condições à tua escolha activando "Estroboscopia" na opção "Lançamento". A técnica estroboscópica consta, basicamente, em obter fotografias sucessivas (do dardo) em intervalos de tempo iguais.

Será que o dardo descreve deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais? Porquê? Terá o dardo um movimento uniforme?

8- Repete o procedimento descrito em 7, com y0=10m e v0=0m/s (queda simples do dardo). Que tipo de movimento descreve o dardo na sua queda vertical com e sem resistência do ar? Atenta nas "fotografias" sucessivas em intervalos de tempo iguais.

9- Repete o procedimento descrito em 7 mas numa situação sem gravidade (escolhe "Sem gravidade" na opção gravidade dentro do menú "Opções") com o ângulo particular de 0º, y0=10m e com v0=1m/s. Qual é o tipo de movimento do dardo?

10- Confirma as tuas respostas a 7, 8 e 9 repetindo os procedimentos descritos com os gráficos x(t) e y(t) activos (opção "x(t) e y(t)" no menú "Gráficos"). Comenta os gráficos de cada situação com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

11- Confirma as tuas respostas a 7, 8 e 9 repetindo os procedimentos descritos com os gráficos vx(t) e vy(t) activos (opção "vx(t) e vy(t)" no menú "Gráficos"). Comenta os gráficos de cada situação com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

12- Ainda para os procedimentos referidos em 7, 8 e 9, obeserva e caracteriza os vectores velocidade e aceleração para cada situação (para activar a aparição destes vectores no écran seleccionar "Vector velocidade" e "Vector aceleração" no menú "Opções").

Deves caracterizar os vectores indicando a sua direcção, o seu sentido, o seu ponto de aplicação e a sua intensidade.

Recorda-te que o vector velocidade pode ser entendido como a soma dos vectores perpendiculares velocidade segundo o eixo dos xx e velocidade segundo o eixo dos yy.

Comenta os teus resultados, para cada situação, com os teus colegas e o(a) teu(tua) professor(a).

13- Simula no programa "Lança!" a seguinte situação: Um lançador do dardo maluco atira o dardo para cima, fazendo um ângulo de 90º com o solo. Foge em seguida do local do lançamento onde o dardo cai.

Repete este lançamento as vezes necessárias de forma a observares os vectores velocidade e aceleração e os gráficos x(t) e y(t), vx(t) e vy(t).

Comenta as tuas observações com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).


5.2 Programa «Lança!» para o 11º ano (Texto sintético).

Para seguires este roteiro deverás conhecer os comandos do programa "Lança!". Se ainda tens dúvidas acerca de algum desses comandos, consulta a "Ajuda" do programa.

Para fazer alguns registos, deves ter uma caneta e uma folha de papel à mão.

Para além da "Ajuda" no menú do programa podes também contar com a ajuda do(a) teu(tua) professor(a).

Se achares este roteiro demasiado difícil, experimenta seguir o roteiro anterior, mais pormenorizado.

1- Entra no écran principal da programa. Estás num estádio olímpico e vais lançar o dardo.

Introduz o valor de 4 m para a altura inicial do lançamento, 50 m/s para a velocidade inicial, 40º para o ângulo de lançamento e 0 Ns2/m2kg para o coeficiente de resistência.

Observa o lançamento.

Atenta no alcance do dardo. Serão realistas as condições iniciais introduzidas? Porquê?

2- Sabendo que um lançamento de um atleta conceituado tem um alcance aproximado de 90 m, quando lançado de um ângulo de 45º e com velocidade inicial de cerca de 30 m/s, tenta encontrar um valor realista para o coeficiente de resistência. terás que fazer alguns ensaios ajustando por tentativa e erro o valor do coeficiente.

3- Trabalha agora com o coeficiente que encontraste no ponto 2. Faz quatro lançamentos com 2 m para a altura inicial (altura média de um atleta), 30 m/s para a velocidade inicial e com os ângulos de lançamento de 20º, 43º, 45º e 75º. Compara os alcances dos quatro lançamentos.

4- Comenta a frase seguinte: "O ângulo óptimo de lançamento do dardo (ângulo de maior alcance) é 45º".

5- Experimenta um lançamento nas mesmas condições do ponto 3 para um ângulo de 44.5º e reaprecia o teu comentário feito em 4.

6- Apaga o écran e executa um primeiro lançamento com um ângulo de tiro de 45º e as restantes condições indicadas em 3.

Sobrepõe a esse lançamento outros três feitos com as mesmas condições iniciais mas na Lua, em Júpiter e numa situação de imponderabilidade (sem gravidade).

Compara os resultados obtidos.

7- Realiza um lançamento com condições à tua escolha activando "Estroboscopia" na opção "Lançamento". As técnicas estroboscópicas constam, basicamente, em obter fotografias sucessivas do dardo em intervalos de tempo iguais.

Será que o dardo descreve deslocamentos iguais em intervalos de tempo iguais? Porquê? Terá o dardo um movimento uniforme?

8- Repete o procedimento descrito no ponto 7, com y0 = 10 m e v0 = 0 m/s (queda simples do dardo). Que tipo de movimento descreve o dardo na sua queda vertical? Observa separadamente as situações de queda com e sem resistência do ar.

9- Repete o procedimento descrito no ponto 7 mas numa situação sem gravidade com o ângulo particular de 0º, y0 = 10 m e v0 = 1 m/s. Que tipo de movimento descreve o dardo?

10- Confirma as tuas respostas a 7, 8 e 9 repetindo os procedimentos descritos, mas agora com os gráficos x(t) e y(t) activos. Comenta os gráficos de cada situação com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

11- Confirma as tuas respostas a 7, 8 e 9 repetindo os procedimentos descritos, mas agora com os gráficos vx(t) e vy(t) activos. Comenta os gráficos de cada situação com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

12- Ainda para os procedimentos referidos nos pontos 7, 8 e 9, observa e caracteriza os vectores velocidade e aceleração para cada situação.

Comenta os teus resultados, para cada situação, com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

13- Simula no programa "Lança!" a seguinte situação: Um lançador de dardo maluco atira o dardo para cima, fazendo um ângulo de 90º com o solo e foge do local do lançamento.

Repete este lançamento as vezes necessárias de forma a observares os vectores velocidade e aceleração e os gráficos x(t) e y(t), vx(t) e vy(t).

Comenta as tuas observações com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).

14- Será que o modelo do movimento do dardo usado para este programa de computador é perfeito? Envolverá aproximações? Será que o vento, por exemplo, não é um dado importante para os lançadores, que não é contemplado neste modelo? Assim sendo, será que este modelo não devia ser usado? Discute com os teus colegas e com o(a) teu(tua) professor(a).



5.3 Programa "Dardo" (Exploração)

As questões que se seguem constaram das provas nacionais das Olimpíadas da Física'94. Não exigem a manipulação dos programas de computador referidos no manual mas estão intimamente relacionadas com a problemática do lançamento de projécteis.

1 O lançamento do dardo é uma das modalidades olímpicas mais nobres. A Fig. 6 representa três lançamentos do dardo simulados computacionalmente no programa "Dardo". Os dados correspondentes a estes lançamentos estão sumariados na Tab 1. Esta tabela apresenta mais um conjunto de alcances obtidos na simulação para vários ângulos de lançamento, para diversas condições.

Fig. 6- Três lançamentos do dardo simulados em computador.

Lançamento Ângulo de lançamento (°) Alcance do dardo (m) Observações
1 45 93.55 Sem resistência do ar e com altura inicial
2 44.5 93.72 Sem resistência do ar e com altura inicial
3 44 84.97 Com resistência do ar e com altura inicial
4 20 58.64 Sem resistência do ar e sem altura inicial
5 35 86.01 Sem resistência do ar e sem altura inicial
6 44.5 91.58 Sem resistência do ar e sem altura inicial
7 45 91.64 Sem resistência do ar e sem altura inicial
8 60 79.35 Sem resistência do ar e sem altura inicial
9 70 78.89 Sem resistência do ar e sem altura inicial

Tabela 1. Dados correspondentes a nove lançamentos do dardo simulados no computador.

O dardo pode ser descrito, de uma forma simplificada, como um projéctil pontual que se move a duas dimensões. Num dado instante t, a posição do dardo é dada pelo par ordenado (x, y) tal que: x = x0 + v0xt e y = y + v0y t - 1/2 g t2 , com x0 e y0 as posições iniciais segundo os dois eixos, v0x e v0y as velocidades iniciais segundo os dois eixos e g a aceleração gravítica.

1.1 Escreve as equações das velocidades segundo os dois eixos. Considera que a velocidade inicial do dardo é v0 e que v0x = v cos q e v0y = v sen q. Nota ainda que, segundo o eixo xx, não há aceleração, sendo a equação respectiva a de um movimento uniforme.

1.2 A expressão que nos dá o alcance máximo do dardo em função do ângulo de lançamento, para uma altura inicial nula (isto é, y0 = 0) é:

xmáx = sen (2q) v02 / g .

Atendendo a um conjunto de dados da tabela, calcula o valor da velocidade v0 que foi tomado na simulação computacional (que corresponde à velocidade aproximada com que um lançador do dardo envia o engenho). Dado: g = 9,8 m/s2.

1.3 Deduz a expressão apresentada em 1.2 (trata-se do valor de x no instante correspondente a y=0). Dados: 2 sen( q ) cos( q ) = sen( 2 q ).

1.4 Caracteriza o vector velocidade com que o dardo do lançamento 7 chega ao solo? Se não respondeste à pergunta anterior toma o valor de 30 ms-1 para a velocidade inicial do dardo.

1.5 Interpreta o menor alcance do lançamento 3 da Fig 6.

1.6 Qual o alcance equivalente ao lançamento 1 nos "Jogos Olímpicos Lunares" ? D: gLua = 1/ 6 gTerra.

1.7 Porque será que, comparando os lançamentos 1 e 2 da Fig. 6, se verifica que o ângulo óptimo de lançamento (ângulo de maior alcance) é 44,5° e não 45°, quando, para os lançamentos 4 a 9 na Tab. 1, tal não acontece?

1.8 Atendendo aos dados do gráfico da Fig. 7, faz uma previsão para o recorde mundial do lançamento do dardo. Fundamente tanto quanto possível a tua resposta.

Fig. 7- Evolução dos recordes de lançamento do dardo ao longo dos anos.

1.9 Atendendo aos resultados a que chegaste na pergunta anterior, explica porque terá a Federação Internacional de Atletismo Amador imposto em 1986 restrições rigorosas à constituição do dardo. Foi então proibido o dardo "planador" e apenas permitido o dardo "picador".



5.4 Programa "Dardo" ("Mexendo" no programa)

É relativamente simples compreender as instruções do programa "Dardo". A presentamos o código fonte do programa seguidamente (podes ler este código com qualquer editor de texto, seleccionando o ficheiro DARDO.BAS).

O código fonte do programa "Dardo"

10 'DARDO - CARLOS FIOLHAIS E JOÃO PAIVA 1991- Versao CGA

20 'Dep.Fisica da Universidade P-3000 Coimbra

30 CLS : SCREEN 2

40 LOCATE 3, 10: PRINT " DARDO ";

50 LOCATE 4, 1: PRINT "Carlos Fiolhais/Joao Paiva - Dep. Fisica da Universidade- P-3000 Coimbra"

60 LOCATE 15, 4: PRINT "Prima qualquer tecla para continuar": I$ = INPUT$(1)

70 CLS : SCREEN 9

100 PRINT "Tem 3 tentativas de lançamento do dardo!"

102 PRINT " "

103 n = 0 'n = numero de tentativas'

140 T = 0: DT = .01: at = at! 'valores dos parametros'

150 n = n + 1: z = n - 1: COLOR z * 3 + 5, 6

160 IF n = 4 THEN LOCATE 25, 39: INPUT "FIM! OUTRA VEZ? 1- SIM; 2- NAO", m: IF m = 1 GOTO 70 ELSE END

165 v = 30'velocidade inicial em módulo'

167 LOCATE 2, 17 + 24 * z: PRINT n: LOCATE 2, 5 + 24 * z: PRINT "Lançamento"

170 LOCATE 4, 5 + 24 * z: INPUT "Gravidade(1, g=9.8)", g1: g = g1 * 9.8

175 LOCATE 5, 5 + 24 * z: INPUT "Resistência(1,terra)", at1: at = at1 * .00145

178 LOCATE 6, 5 + 24 * z: INPUT "Altura inicial=", AI

179 LOCATE 7, 5 + 24 * z: INPUT "Ângulo de tiro=", f

180 VX = v * COS(f * 3.14159 / 180) 'calculo de vx inicial'

190 VY = SQR(v ^ 2 - VX ^ 2) 'calculo de vy inicial'

200 x = 0: y = AI 'posiçao inicial'

220 LINE (0, 290)-(640, 290)

230 VX = VX - (at * v * VX) * DT 'calculo de novo vx'

240 x! = x!: x = x + VX * DT 'calculo de novo x'

250 VY = VY - (g + at * v * VY) * DT 'calculo de novo vy'

260 y = y + VY * DT 'calculo de novo y'

270 v = SQR(VX ^ 2 + VY ^ 2) 'calculo do modulo da velocidade'

280 T = T + DT

290 PSET (x * 5, 290 - y * 3): IF g = 0 THEN LOCATE 8, 5 + 24 * z: PRINT "Até amanha...": IF y > 50 THEN GOTO 150: ELSE GOTO 300

300 LOCATE 9, 5 + 24 * z: PRINT "x=", x: IF y < .1 THEN : IF x < 125 AND x > 1.6 AND y < .1 THEN LOCATE 22 + z, x / 1.6: PRINT n: GOTO 150 ELSE GOTO 150

310 GOTO 230

1. Abre o ficheiro "DARDO.BAS" no programa "Basic" que acompanha o sistema MS-DOS, nos programas "Quick Basic", "GWbasic" ou em qualquer outro equivalente.

2. Corre o programa e experimenta fazer alguns lançamentos com diferentes parâmetros iniciais (também poderás correr o programa directamente do DOS usando o ficheiro "DARDO.EXE").

3. Com a ajuda dos teus colegas e/ou do(a) teu(tua) professor(a), tenta ler o código-fonte do programa e entender a estrutura geral do programa e cada um dos seus passos. Alguns comentários, colocados entre pelicas, facilitam a leitura do programa. Poderás ler o texto de apoio "Aristóteles, Galileo e a queda dos graves", no final do manual, para entenderes melhor os algorítmos utilizados.

4. Localiza no programa as variáveis que te permitam alterar os seguintes parâmetros:

4.1- Velocidade inicial.

4.2- Altura inicial.

4.3- Ângulo de lançamento.

4.4- Aceleração gravítica.

4.5- Coeficiente de resistência.

5- Mudifica as linhas 170 a 179 de forma a que todas as variáveis referidas em 4 não estejam disponíveis quando o programa correr (tirar as instruções "Input"). Atribui valores que consideres razoáveis para "g", "at", "Ai" e "f".

6- A partir do programa construído em 5 simula:

6.1- Lançamentos em vários planetas.

6.2- Lançamentos de várias alturas iniciais.

6.3- Lançamentos sem gravidade.

6.4- Lançamentos com vários ângulos de tiro.

7- Esboça um programa semelhante ao "Dardo" mas com a possibilidade do utilizador introduzir antes de cada lançamento, para além dos quatro parâmetros anteriores, o valor da velocidade inicial. Compila esse programa e mostra aos teus colegas. Acabas de fazer um programa mais completo do que aquele com que iniciaste esta actividade.

8- Escreve um programa "Dardo", em "Basic" com os melhoramentos que achares convenientes (poderás, por exemplo, fazer aparecer no écran os gráficos de x(t), y(t), vx(t) e vy(t)). Envia esse programa para o projecto "Softciências" para eventual divulgação.



5.5 Programa "Pisa" (Exploração)

1- Relembra o que estudaste sobre a queda de graves. Escreve:

a) A equação da aceleração do movimento.

b) A equação das velocidades para este tipo de movimento.

c) A lei dos espaços para a queda de um grave.

2- Como sabes, o problema da queda dos graves foi polémico ao longo da história da Física. Lê o texto de apoio "Galileu, Aristóteles e a queda dos graves", no fim deste manual, antes de começares a usar o programa.

3- Nas equações que escreveste em 1 é determinante a massa e a forma do objecto que cai para saber a sua posição e a sua velocidade num dado instante?

Qual é a diferença, ou diferenças, entre o tratamento matemático apresentado em 1 e a realidade? (Não continues antes de discutires a tua resposta com o teu professor)

4- Começa então a trabalhar com o programa "Pisa". Se o cursor estiver em A:, basta escreveres "PISA" e carregar na tecla "Enter". Se o programa já estiver instalado no disco duro, executa o mesmo procedimento a partir de C:.

O programa simula lançamentos de esferas com diferentes raios e massas do cimo da Torre de Pisa. Atende, por enquanto, exclusivamente à esfera 1 (que não sofre resistência do ar). Verifica se a posição do ponto material para três instantes diferentes (para parar o grave usa a tecla "Break") obedece à equação dos espaços para um movimento uniformemente acelerado.

5- Observa agora o que se passa num certo instante para a esfera 2, com 1 kg e 0,1 m de raio. Já não são válidas para este caso as equações expressas em 1? Porquê?

6- Compara o que se passa com uma esfera de 1 kg com 0,1 m de diâmetro com outra esfera de 1 kg com 0,01 m de diâmetro, constituída pelo mesmo material.

7- Concebe e executa uma experiência computacional que mostre como varia o tempo da queda de um grave (com forma constante) com a sua massa, quando o corpo está sujeito a uma força de resistência do ar.

8- Retoma o texto de apoio e vê se Galileu tinha ou não razão a respeito da experiência das pedras de 1 e 100 cúbitos. Galileu não dispunha de um computador para fazer as simulações que agora tu podes realizar. Seriam mesmo dois dedos que separavam uma e outra pedra?

9- Imagina valores razoáveis para comparares a queda da torre de Pisa duma bola de ténis e de uma bola de futebol. Se puderes, realiza esta experiência do 2º ou 3º andar da tua escola.

10- Simula uma experiência conforme a Fig. 8. Com o auxílio das teclas "Break" e "Enter", faz uma tabela com os valores da altura de cada esfera para os instantes 0,5 s (ou perto, se não conseguires interromper a simulação nesse preciso instante), 1 s, 1,5 s, 2 s, 3 s, 4 s e 5 s.

Esboça o gráfico y(t) para as três esferas. Será o movimento da esfera 1 um movimento uniforme? Porquê?

Discute com o teu professores e com os teus colegas o facto da esfera 1 se deslocar com movimento uniforme, à luz da noção de velocidade terminal.

Fig. 8- Utilização do programa "Pisa"



5.6 Programa "Pisa" ("Mexendo" no programa)

1- É relativamente simples compreender as instruções do programa "Pisa". Apresentamos o código-fonte do programa seguidamente (podes ler este código em qualquer editor de texto seleccionando o ficheiro "PISA.BAS").

O código fonte do programa "Pisa"

10 CLS

12 LOCATE 10, 30: PRINT "PISA"

13 LOCATE 12, 1: PRINT "Carlos Fiolhais/Joao Paiva- Dep. Fisica da Universidade de Coimbra": PRINT "3000 Coimbra "

LOCATE 15, 4: PRINT "Prima qualquer tecla para continuar": i$ = INPUT$(1)

15 CLS : SCREEN 9

16 PRINT "São largadas no mesmo instante 3 esferas do alto da Torre de Pisa!"

17 COLOR 2, 0: PRINT "A esfera 1 não sofre a resistência do ar": COLOR 7, 0

18 PRINT "As esferas 2 e 3 sofrem a resistência do ar."

19 LOCATE 15, 5: PRINT : PRINT "Dá valores para a massa e o raio das esferas 2 e 3 e observa os resultados!"

LOCATE 13, 3: PRINT "NOTA: Os valores para o tempo patentes no écran não correspondem a tempo real!"

LOCATE 19, 30: PRINT "Qualquer tecla para continuar": i$ = INPUT$(1)

20 t = 0: TF = 10: dt = .01: ro = 1.293: pi = 3.14: g = 9.8: a = 56: v0 = 0: W0 = 0: z0 = 0: x0 = a: y0 = a: H0 = a

25 CLS : LINE (0, 200)-(640, 200): LOCATE 1, 50: COLOR 2, 0: PRINT "1": CIRCLE (400, 25), .01

COLOR 3, 0: LOCATE 1, 53: PRINT "2": COLOR 6, 0: LOCATE 1, 56: PRINT "3": COLOR 7, 0

26 LINE (400, (200 - a * 3))-(320, (200)): LINE (450, (200 - a * 3))-(370, (200)): LINE (400, (200 - a * 3))-(450, (200 - a * 3))

30 COLOR 3, 0: LOCATE 4, 1: PRINT "Esfera 2:"

INPUT "Massa:", m2: LOCATE 5, 12: PRINT "kg"

INPUT "Raio:", r2: LOCATE 6, 12: PRINT "m"

CIRCLE (425, 25), 60 * r2

35 COLOR 6, 0: LOCATE 8, 1: PRINT "Esfera 3:"

LOCATE 9, 1: INPUT "Massa:", m3: LOCATE 9, 12: PRINT "Kg"

LOCATE 10, 1: INPUT "Raio:", r3: LOCATE 10, 12: PRINT "m"

CIRCLE (450, 25), 60 * r3: COLOR 7, 0

45 wt = SQR((m2 * g) / (.25 * ro * pi * r2 * r2)): zt = SQR((m3 * g) / (.25 * ro * pi * r3 * r3))

60 i = 0

70 g1 = g: g2 = g * (1 - SGN(W0) * (W0 / wt) ^ 2): g3 = g * (1 - SGN(z0) * (z0 / zt) ^ 2)

80 v1 = v0 + g * dt: W1 = W0 + g2 * dt: Z1 = z0 + g3 * dt

90 x1 = x0 - v1 * dt: y1 = y0 - W1 * dt: h1 = H0 - Z1 * dt

100 t = t + dt

110 i = i + 1

120 v0 = v1: x0 = x1: W0 = W1: y0 = y1: z0 = Z1: H0 = h1

130 COLOR 2, 0: IF x1 > 0 THEN GOTO 135 ELSE GOTO 141

135 PSET (400, (200 - x1 * 3))

141 IF y1 > 0 THEN COLOR 3, 0: GOTO 145 ELSE GOTO 152

145 PSET (425, (200 - y1 * 3))

152 IF h1 > 0 THEN COLOR 6, 0: GOTO 155 ELSE GOTO 163

155 PSET (450, (200 - h1 * 3))

163 LOCATE 22, 60: COLOR 7, 0: PRINT "TECLA «ctr» -«Break» para parar e Enter para seguir"

175 LOCATE 16, 1: PRINT "Tempo = "; t

LOCATE 16, 15: PRINT "s ": PRINT ""

186 IF x1 > 0 THEN LOCATE 18, 1: COLOR 2, 0: PRINT "Y1 = "; x1: IF x1 < .3 THEN BEEP: LOCATE 18, 1: PRINT " ": LOCATE 18, 1: PRINT "Y1 = 0": LOCATE 18, 25: PRINT "Tempo de queda da esfera 1 ->"; t: LOCATE 18, 60: PRINT "s "

ELSE GOTO 197

197 IF y1 > 0 THEN COLOR 3, 0: LOCATE 19, 1: PRINT "Y2 = "; y1: IF y1 < .3 THEN BEEP: LOCATE 19, 1: PRINT " ": LOCATE 19, 1: PRINT "Y2 = 0": LOCATE 19, 25: PRINT "Tempo de queda da esfera 2 ->"; t: LOCATE 19, 60: PRINT "s "

ELSE GOTO 208

208 IF h1 > 0 THEN COLOR 6, 0: LOCATE 20, 1: PRINT "Y3 = "; h1: IF h1 < .3 THEN BEEP: LOCATE 20, 1: PRINT " ": LOCATE 20, 1: PRINT "Y3 = 0": LOCATE 20, 25: PRINT "Tempo de queda da esfera 3 ->"; t: LOCATE 20, 60: PRINT "s "

ELSE GOTO 210

210 IF i$ = CHR$(27) THEN SYSTEM ELSE GOTO 215

215 IF (x1 > 0) OR (y1 > 0) OR (h1 > 0) THEN GOTO 60 ELSE GOTO 220

220 LOCATE 22, 50: COLOR 7, 0: INPUT "Outro lançamento?(s/n)", a$

230 IF a$ = "s" OR a$ = "S" THEN GOTO 15 ELSE END

2- Abre o ficheiro "PISA.BAS" no programa "Basic" que acompanha o sistema MS-DOS, "Quick Basic", "GWbasic" ou em qualquer outro equivalente. Entra agora na versão não compilada do programa. Para tal, se trabalhares no "Quick Basic", escreve "QB", teclando "Enter" de seguida. Ficas então em condições, através da opção "File"/"Open", de abrir e modificar o programa "PISA.BAS".

3- Com a ajuda dos teus colegas e/ou do(a) teu(tua) professor(a), tenta ler o código-fonte do programa e entender a estrutura geral do programa e cada um dos seus passos. Alguns comentários, colocados entre pelicas, facilitam a leitura do programa. Poderás ler o texto de apoio "Aristóteles, Galileo e a queda dos graves", no final do manual, para entenderes melhor os algorítmos utilizados.

Altera o programa e elebora outro semelhante ao "Pisa" mas com a possibilidade do utilizador introduzir antes de cada lançamento, para além dos parâmetros já estabelecidos, a velocidade inicial e a aceleração gravítica. Compila esse programa e mostra-o aos teus colegas. Acabas de fazer um programa mais completo do que aquele com que iniciaste esta actividade.

4- Planeia uma experiência computacional e, com a ajuda do teu professor, investiga... o que quiseres! Por exemplo:

- Levar a Torre de Pisa para a Lua ou para Marte.

- Experimentar lançar corpos da torre abaixo em vez de os largar.

- "Esticar" (ou "encolher") a torre.

- Lançar corpos da Torre de Pisa "para cima".

- etc.

5- Escreve um programa "Pisa", em "Basic" com os melhoramentos que achares convenientes (poderás, por exemplo, fazer aparecer no écran os gráficos de y(t) e vy(t)). Envia esse programa para o projecto "Softciências" para eventual divulgação.




6. TEXTOS DE APOIO

Texto 1

O lançamento do dardo


Não fosse uma mudança de legislação da Federação Internacional de Atletismo Amador (FIAA) em 1991, estabelecendo um dardo com novas características, e teríamos hoje valores impressionantes de recordes mundiais de lançamento do dardo. E, com um pouco de imaginação, não fosse essa intervenção, poderíamos imaginar um dardo a sair para além dos limites do estádio olímpico de Atlanta em 1996, caindo na cabeça de um qualquer espectador inocente...

O finlandês Seppo Raty, fazendo jus à fama do seu país nesta disciplina do atletismo, alcançou em 2 de Julho de 1991 a marca de 96,96 m. Acrescentou "só" cerca de 5 m ao seu anterior recorde estabelecido dois meses antes. Na verdade, numa crónica desportiva do jornal "Público", em 4 de Julho de 1991, lê-se a elucidativa manchete a propósito do lançamento do dardo:"Avançar vinte anos num só mês"...

Uwe Hohn tinha chegado a 104,8m em 1984 mas usando um modelo de dardo, o "planador", entretanto proibido pela FIAA. O facto do dardo planar, inclusivamente contra o vento, permitia alcances excepcionais no lançamento. Em 1986 a FIAA impôs aos atletas o modelo "picador". Depois de atingida a altura máxima, o dardo "picador" cairia mais "a pique", percorrendo uma menor distância horizontal.

O modelo "picador" foi aperfeiçoado pelos técnicos da modalidade; as suas modificações "laterais", sem contrariar as especificações do engenho impostas pela Federação, permitiam que estes, afinal, planassem. O modelo usado por Raty, por exemplo, introduz uma pequena tira de tecido com cerca de um milímetro de espessura, que facilitava uma certa turbulência à volta do dardo e o faz planar melhor.

Estes modelos de dardo conhecidos por "picadores modificados" acabaram por ser proibidos pela intervenção da FIAA em 1991. O recorde de Raty não foi homologado, apenas sendo aceites os valores obtidos com o modelo estrito, liso, aprovado inicialmente.

O actual recorde mundial pertence ao checo Zelezny e cifra-se em 94,74 m, alcançados no "meeting" de Oslo em 4 de Julho de 1992. A sua marca nos recentes Jogos Olímpicos de Barcelona, que venceu, ficou bem aquém desse valor: 89,66 m. Dizem os entendidos que na origem desta diferença de marcas estão os chamados anabolizantes ... Nos jogos olímpicos, os grandes lançadores não ousam tomá-los !

Nenhuma outra disciplina de atletismo se viu confrontada com tão incríveis melhoramentos nos resultados dos atletas. Foi este facto, que levou a Federação Internacional de Atletismo a colocar um autêntico travão na série de recordes. A tabela 1 apresenta uma síntese das marcas mais significativas obtidas nos últimos tempos, na modalidade do dardo.

Alcance(m) Ano lançador tipo de dardo observações
90,98 1964 Jorna Kinnuenen tradicional recorde mundial
91,72 1970 Pedersen tradicional recorde mundial
96,72 1983 Ferenc Paragi tradicional recorde mundial
99,72 1983 Petranoff planador não homologado
104,80 1983 Uwe Hohn planador não homologado
81,72 1986 Seppo Raty picador
83,94 1990 Seppo Raty picador
89,58 1990 Steve Backley picador recorde mundial
96,96 1991 Seppo Raty picador modificado não homologado
94,74 1992 Zelezny picador recorde mundial

Tabela 1.

O rigor dos actuais regulamentos incide essencialmente na forma e na massa do dardo, pois estes factores estavam na base das recentes marcas espectaculares, mais do que a condição física dos atletas.

A fig.1 evidencia esse rigor : desde a ponta aguçada do dardo até ao extremo oposto, um conjunto enorme de medidas são apresentadas com tolerâncias dadas com uma precisão de milímetros. Acresce ainda idêntico cuidado no que toca às massas das diversas partes do engenho.


Fig.1-Forma e medidas do dardo exigidas pela FIAA.

Extraído de : João Paiva e Carlos Fiolhais, Gazeta da Física 15 (1992) 85.



Texto 2

Aristóteles, Galileu e a queda dos graves


Galileu opôs-se a Aristóteles na questão da queda dos graves e as suas ideias sobre esse tipo de movimento foram incorporadas nas ciências físicas que então nasceram. É, porém, notável que as opiniöes de Aristóteles tenham persistido durante cerca de dois mil anos sem nunca terem sido alvo de qualquer crítica consequente. Acontece que, apesar de ridicularizada no século XVI por Galileu e esquecida hoje pelos manuais escolares de física, a doutrina de Aristóteles apresenta o mérito de corresponder de certo modo a muitos dados da observação corrente. Foi essa, afinal, a grande razão da sua longevidade.

Os escritos de Aristóteles sobre a queda dos corpos não são de modo algum claros. Vale, porém, a pena citar uma passagem mais transparente do volume "De Caelo":

"O movimento para baixo de uma massa de ouro ou chumbo ou de qualquer outro corpo dotado de peso é tanto mais rápido quanto maior for o seu tamanho".

De facto, é precisamente isto o que se observa. Se se deixarem cair, no ar, dois corpos maciços de igual natureza e com a mesma forma (por exemplo, esférica), vê-se que o maior e, portanto, mais pesado chega primeiro ao chão. Aristóteles tinha e tem, neste ponto particular, razão.

Numa outra sua obra, "Physica", Aristóteles escreve:

"Vemos que corpos com maior tendência de peso ou de leveza, mas semelhantes em todos os outros aspectos, se movem mais rapidamente no mesmo espaço e isto na razão que tenham entre si os valores dessas tendências. Por isso mover-se-ão também no vazio com esta razão de velocidades. Mas tal é impossível; porque deve um corpo ser mais rápido do que o outro?"

Os corpos com maior peso cairiam, segundo Aristóteles, no ar mais rapidamente (no tempo dos gregos não havia bombas de vácuo nem se viajava no espaço, pelo que só no ar se podia observar a queda dos corpos!). A velocidade de queda, aparentemente constante, seria proporcional ao peso. Hoje sabe-se que a velocidade de queda de um corpo no ar aumenta até acabar, eventualmente, por atingir um valor constante - a velocidade terminal - e que esta velocidade é, realmente, tanto maior quanto maior for o peso do corpo. Não é directamente proporcional ao peso, como presumia Aristóteles, mas sim, para um objecto esférico, proporcional à raiz quadrada do peso (o peso, por sua vez, só é directamente proporcional ao tamanho se por tamanho se entender o volume do corpo e não qualquer dimensão linear). Não é inversamente proporcional à força de resistência do meio, como Aristóteles noutro passo dá a entender, mas tem, de facto, a ver com essa força. A velocidade terminal é inversamente proporcional à raiz quadrada da secção transversa de um objecto esférico, que é uma medida da resistência experimentada durante o movimento no ar.

Repare-se que Aristóteles acha natural que os corpos mais pesados caiam mais rapidamente do que os mais leves não só no ar como também no vazio, mas encontra logo aí uma questão: "porque deve um corpo [, no vazio,] ser mais rápido do que o outro?". Não encontra nenhuma boa razão para tal e, com base neste paradoxo, conclui um pouco mais adiante que não existe vazio. É o "horror ao vácuo" dos antigos! Um tal horror ajudaria de resto, segundo alguns seguidores de Aristóteles, a explicar a queda dos graves no ar: quando uma pedra cai tenderia a criar vazio atrás de si e, como a natureza tem repulsa pelo vácuo, o ar precipitar-se-ia rapidamente atrás da pedra, impulsionando-a na sua queda. A pedra grande criaria momentaneamente um vazio maior caindo por isso mais depressa. Esta explicação está basicamente errada, mas uma pedra pesada chega ao chão primeiro do que uma pedra leve (semelhante) devido apenas à diferente resistência experimentada durante o movimento. A pedra maior, que experimenta a maior força de resistência, chega primeiro ao solo. Acontece que uma pedra maior tem maior velocidade terminal e quanto maior for a velocidade terminal mais depressa a pedra cai. O peso de uma esfera, que aparece em numerador na expressão da velocidade terminal, aumenta com o cubo do raio ao passo que a secção transversa, que aparece em denominador, aumenta tão só com o quadrado do raio (ver fórmula da velocidade terminal mais adiante).

Foi o italiano Galileu Galilei quem insistiu na afirmação de que não existe nenhum motivo válido para que um corpo no vazio seja mais rápido do que outro. Por volta de 1509, num manuscrito em latim só bastante mais tarde publicado, Galileu, sem piedade para com o sábio grego, escreveu o seguinte:

"O ridículo da opinião de Aristóteles é mais claro do que a luz. Quem vai acreditar, por exemplo, que se duas esferas de chumbo forem largadas da órbita da Lua, sendo uma cem vezes maior do que a outra, a maior chegue à Terra numa hora, enquanto a menor leva cem horas no seu movimento? Ou se duas pedras forem lançadas ao mesmo tempo de uma torre alta, tendo uma o dobro do tamanho da outra, quem vai acreditar que a mais pequena vá a meio do caminho quando a grande está a chegar ao chão?"

Galileu usa um "truque" muito do gosto dos físicos modernos e que consiste em exagerar ao extremo uma dada situação para a tentar compreender melhor. Efectua experiências mentais de queda das pedras desde a Lua (situada no espaço exterior, onde não há ar) até à Terra. Embora o essencial do raciocínio galilaico esteja certo, isto é, as pedras de diferentes tamanhos caem ao mesmo tempo no vazio e quase ao mesmo tempo do alto de uma torre como a de Pisa, existe nele uma imprecisão quantitativa. Com efeito, o tempo de queda de qualquer pedra desde a Lua (inclusive da própria Lua) não é 1 hora nem 100 h mas sim 5,3 dias, isto é, 127 horas. Para se calcular esse tempo tem de se considerar a variação da aceleração com a distância à Terra, ao contrário do cálculo para a queda perto da Terra, no qual se toma a aceleração constante. No "Diálogo sobre duas ciências novas" (publicado em 1638), o personagem Salviati, que se identifica com as posiçöes de Galileu, comenta uma afirmação de Aristóteles que nunca foi efectuada na precisa forma em que é referida:

"- Simplicio- A sua discussão é deveras admirável; no entanto acho difícil de acreditar que uma lágrima de pomba se mova com a mesma velocidade de uma bala de canhão.

- Salviati - Pode mesmo dizer um grão de sal e uma mó de moinho. Mas, Simplicio, espero que não siga o exemplo de muitos outros que desviando a discussão do objectivo fundamental atacaram uma afirmação minha a que faltava um cabelo de verdade, e sob este cabelo quiseram esconder um erro de um outro, do tamanho de uma corda de um barco. Aristóteles afirmou: Uma bola de ferro de cem libras, caindo de uma altura de cem cúbitos, chega ao chão antes que uma bola de uma libra tenha caído de um simples cúbito'. Eu digo que chegam ambas ao mesmo tempo. Descobre, se fizer a experiência, que a maior precede a menor de dois dedos; isto é, quando a maior bate no chão, a outra está ainda acima dois dedos. Não pode meter nestes dois dedos os noventa e nove cúbitos de Aristóteles".

O texto, desta vez escrito em italiano escorreito para toda a gente e não apenas em latim hermético para alguns, é magnífico, tanto pelo sentido poético como pelo rigor da invocação da experiência. Contudo, nem o exemplo preciso da "bola de ferro de cem libras" se encontra em nenhuma obra de Aristóteles nem Aristóteles na sua "física qualitativa" usava equaçöes e quantidades numéricas, pelo que a "citação" que dele faz Galileu não é literal (a técnica de colocar na boca do opositor afirmaçöes que ele não proferiu é ainda hoje bastante usada...). Por outro lado, Salviati manda fazer a experiência da queda das bolas de ferro (de 100 e 1 libra, com 1 libra = 0,454 Kg) da "altura de cem cúbitos" (1 cúbito = =0,66m) mas não é claro se Galileu a fez de forma rigorosa. Pelo contrário, é totalmente falso que Galileu tenha realizado, perante uma numerosa e distinta audiência, uma "experiência crucial" de queda dos graves do cimo da Torre de Pisa (cuja altura total é 56m e não 100 cúbitos=66m). Essa história parece ter sido inventada tardiamente por um discípulo que pretendia aumentar a glória do mestre. Não se encontrou nenhum relato contemporâneo do acontecimento, nem mesmo nos escritos do próprio Galileu. No entanto, Galileu deve ter realizado, sem assistência, experiências de queda dos graves em pequena escala, que o levaram a concluir que é pequena a diferença de tempos de queda de objectos de tamanho diferente, traduzida nos tais "dois dedos" (1 dedo deve ser 1 polegada = 2,75 cm). Galileu não refere mas devia ter conhecimento de experiências anteriores que consistiram no lançamento de uma certa altura de bolas de diferentes pesos e cujos resultados foram devidamente anotados e comentados (por Simão Stevin, por exemplo).

Galileu defende pois que corpos desiguais caem no ar quase ao mesmo tempo e considera essa invariância aproximada do tempo de queda mais importante do que a evidência empírica segundo a qual os corpos mais pesados demoram menos tempo a cair. Ele está, de resto, bem consciente do papel desempenhado pela resistência do ar, que é até explicitado em "De Motu", mas pensa que esse papel é mais acidental do que essencial. O texto que se segue, extraído dessa obra, embora confuso, fornece uma descrição qualitativa da queda de um grave no ar (o grave primeiro acelera e depois atinge uma velocidade constante):

"(...) se observarmos um objecto não particularmente pesado a cair de uma certa altura, tal como uma bola de lã, uma pena ou algo de semelhante, veremos que ele se move de início lentamente, mas que pouco depois passa a ter movimento uniforme. A razão por que tal acontece de forma mais clara para as coisas mais leves é que as coisas, quando se começam a mover, sofrem uma força contrária, de grandeza igual ao seu próprio peso. Se as coisas forem pouco pesadas então a força contrária será pequena, sendo esta força rapidamente anulada; e quando é anulada, o objecto passará a andar com movimento uniforme. É mais fácil observar a uniformidade do movimento de uma coisa que se mova devagar do que de uma coisa que cai muito rapidamente. Mas uma vez que a força contrária a vencer na queda de coisas pesadas é enorme, é necessário um grande intervalo de tempo para a anular; nesse tempo, uma vez que elas se movem muito rapidamente, descerão um espaço grande. Como não temos à disposição os ditos grandes espaços nos quais os corpos pesados deviam ser largados, não admira que se uma pedra cair apenas da altura de uma torre pareça acelerar durante todo o tempo até chegar ao chão, uma vez que este espaço e tempo pequenos não serão suficientes para anular toda a força contrária."

É errado que a "força contrária", que traduz a resistência do ar, seja de início igual ao peso. De início é nula, se o corpo partir do repouso; passa a ser muito pequena quando o corpo se passa a mover e fica igual ao peso, sempre constante (despreza-se a variação da aceleração da gravidade com a altura, por ser insignificante), quando se atinge o regime de velocidade terminal. Mas o tempo que demora a atingir a velocidade terminal é, de facto, maior para os corpos grandes. Por isso é que corpos pesados, quando largados do cimo de uma torre baixa, não chegam a atingir a velocidade terminal.

Um corpo em queda livre no ar sofre uma força total não nula (e, portanto, acelera) até atingir a velocidade terminal, altura em que passa a mover-se com velocidade constante. Na verdade, o corpo está sempre a acelerar, embora a aceleração seja cada vez menor. Não há, de facto, um instante preciso para o qual se possa dizer que se estabeleceu o regime de movimento uniforme, embora se possa indicar a ordem de grandeza de tempos para a qual se dá uma certa mudança de comportamento cinemático. Numa primeira fase do movimento, podemos dizer que todos os corpos se comportam mais ou menos como no vazio, aumentando a sua velocidade mais ou menos da mesma maneira (a derivada da velocidade é praticamente a aceleração da gravidade terrestre para todos, uma vez que a aceleração devida à força de resistência do ar é comparativamente muito pequena). Essa é a região que podemos denominar de "galilaica". Numa segunda fase do movimento, os corpos mantêm velocidades constantes, conforme pretendia Aristóteles, variando essa velocidade conforme o tamanho do corpo. Essa é a região que podemos apelidar de "aristotélica". A transição entre as duas fases é mal definida. Convencionalmente, considera-se que a primeira dura durante um tempo que é obtido dividindo a velocidade terminal pela aceleração da gravidade.

A Fig.1 pode ajudar a esclarecer o parágrafo anterior. Mostra o gráfico da velocidade em função do tempo para três corpos 1, 2 e 3.

O corpo 1 não sofre resistência do ar, ao contrário dos corpos 2 e 3. O corpo 2 é uma esfera de ferro com massa 100 vezes maior do que 3, que é uma esfera do mesmo material com 0,454 kg. t2 é o tempo que demora a alcançar o regime de velocidade terminal. Este tempo é bem menor para o corpo 3. A partir de t3 (t3=8,89s) o corpo começa a comportar-se como objecto "aristotélico" mas, se a esfera for largada do cimo da torre de Pisa, chega ao solo ao fim de 3,42s e esse regime nunca é atingido, caindo o corpo como objecto "galilaico". O corpo 2, por seu lado, tem t2 =19,24s.





Fig.1- Velocidades em função do tempo para a queda de 3 esferas de ferro, 1, 2 e 3. A esfera 1, pontual, não sofre resistência do ar. As esferas 2 e 3 são de ferro, tendo 2 uma massa de 45,4kg e 3 uma massa de 0,454 kg.

Salientar a primeira ou a segunda fase do movimento depende da respectiva importância relativa num dado contexto particular. Se lançarmos uma pena ou um balão do cimo de uma torre de 56m verificamos que eles entram passado pouco tempo e, portanto, depois de percorrerem uma distância pequena, no regime de velocidade terminal, pelo que se tratam de objectos "aristotélicos" (por "pouco tempo" e "distância pequena" entendem-se respectivamente tempos e distâncias muito menores que os tempos e as distâncias totais observadas). Uma tal queda pode ser filmada com uma câmara de vídeo doméstica, sendo o movimento uniforme reconhecido com o auxílio de um relógio e de uma fita métrica. Uma galinha ou uma bola de chumbo, pelo contrário, demoram mais tempo a entrar no referido regime, podendo nem sequer chegar a entrar nele, ao cair de uma torre como a de Pisa, pelo que são objectos "galilaicos". Já serão objectos "aristotélicos" se forem lançados do cimo do "Empire State Building" (380m), em Nova Iorque...

Galileu coloca a ênfase na invariância que consiste no facto de todos os corpos terem aproximadamente a mesma aceleração quando começam a cair - a aceleração da gravidade determinada pela massa e tamanho do planeta onde vão cair. A invariância que consiste no facto de todos os corpos, passado o tempo suficiente, caírem com velocidade aproximadamente constante é diminuída pelo facto de essa velocidade variar de objecto para objecto. A física, nascida com Galileu, prefere concentrar-se nas invariâncias que têm um carácter mais geral.

É pertinente, porém, a questão de saber se uma bola de ferro 100 vezes maior do que outra de 1 libra chega ao chão apenas distanciada de "dois dedos" quando cai do cimo de uma torre como a de Pisa. Para isso e na impossibilidade de efectuar "in loco" a experiência atribuída a Galileu, podem ser úteis simulaçöes computacionais simples. O programa PISA foi realizado neste espírito, destinando-se a permitir que os alunos larguem do cimo de uma torre de Pisa virtual várias bolas, sendo duas de tamanhos diferentes sujeitas à resistência do ar e uma outra, de referência, numa situação ideal de queda no vazio (ver Fig.2). Esta torre computacional é, pois, uma torre "mágica" de onde se podem fazer experiências "mágicas" de física, experiências que nem Galileu poderia ter feito por serem impossíveis na prática.

Vejamos os cálculos realizados no programa PISA. Para um objecto esférico não muito pequeno, tal como uma bola de ferro de uma ou cem libras, a resistência do ar à sua queda é dada por

, com B=(1/4)rarpr².

A velocidade terminal desse objecto determina-se igualando os valores do peso, mg, e da força resistente, Bv². Portanto,

vt = (mg / B)1/2

Basta dar a massa e o raio da bola para se obter vt .

A simulação computacional realizada no programa PISA actualiza em cada instante t os valores da velocidade e da posição das bolas a partir dos respectivos valores iniciais do seguinte modo

vn+1=v(tn)=vn+anDt , com an =(g-Bv²/m) = g [1-(v/vt)²]

xn+1=x(tn)=xn+vn+1Dt

com Dt um intervalo de integração muito menor que o tempo total de queda e tn=t0+nDt.

Consideremos o exemplo das 3 bolas da Fig.1, que corresponde à situação pensada por Galileu. A bola 2, de 100 libras, tem massa 45,4 kg. Como a densidade do ferro é 7870 kg/m3, ela tem, por isso, 11,1 cm de raio. A bola 3 tem massa 0,454 kg e raio 2,4 cm. A velocidade terminal de 2 é vt2 = 188,57 m/s, sendo vt3 = 87,22 m/s para a esfera 3.




Fig.2- Ecran do programa PISA correspondente ao lançamento de 3 esferas 1, 2 e 3. A esfera 1, pontual, não sofre resistência do ar.

A bola 2 cai do cimo da torre de Pisa (56 m) ao fim de 3,388 s. A bola 3 cai ao fim de 3,421 s. A distância entre as bolas 2 e 3 quando 2 chega ao chão é 1,038 m, muito mais do que os "dois dedos" de Galileu, mas pequena se comparada com a altura da torre. A bola 1, sem resistência do ar, cai da mesma altura num tempo de 3,379 s. As bolas 2 e 3 são objectos "galilaicos", como se podia já ver na Fig.1.

Note-se que este problema a uma dimensão tem solução analítica conhecida

v=vtth(t/t)

x= vt²/g log(cosh (t/t))

com tD=vt/g o tempo que demora a chegar o regime de velocidade terminal.

Essa solução pode servir para verificar neste caso a acuidade da técnica de integração numérica. No entanto, a duas dimensöes o problema da queda de um projéctil com resistência do ar deixa de ter solução analítica, sendo inevitável o recurso ao cálculo numérico.

O programa PISA permite que alunos que ainda não têm conhecimentos especializados de matemática se apercebam facilmente do efeito, qualitativo e quantitativo, que tem a resistência do ar, essencial ao pensamento aristoteliano, mas quase sempre ignorada nos manuais escolares. Pode o aluno, em vez das bolas de ferro, deixar cair vários outros objectos de massa e tamanhos diferentes no computador (bolas de pingue-pongue, balöes de ar, etc) e descobrir objectos que sejam "aristotélicos". Pode ainda "mergulhar" a torre de Pisa na água ou ensaiar outras proezas que ocorram à sua imaginação.

Extraído de: C. Fiolhais e J. Paiva, "Galileu, Aristóteles e a queda dos graves", Gazeta da Física, 15 (1992) 28.




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